Определить площадь фигуры ограниченной линиями: y = 2(1-x^2), y = 1.

У=2(1-х²) - парабола с ветвями, направленными вниз.
Вершина в точке (0,2).
Точки пересечения с осью ОХ : $2(1-x^2)=0$ .

$1-x^2=0\; ,\; \; x^2=1\; ,\; \; x=\pm 1$

Точки (-1,0) и ( 1,0) .
Точки пересечения параболы и прямой у=1:

$2(1-x^2)=1\; ,\; 1-x^2=\frac{1}{2}\; ,\; x^2=\frac{1}{2}\; ,\; x=\pm \frac{1}{\sqrt2}$

Точки : $(-\frac{1}{\sqrt2},0)\; ;\; (\frac{1}{\sqrt2},0)$ .

$S=\int \limits _{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}\; (2(1-x^2)-1)\, dx=2\cdot (x-2\frac{x^3}{3})|\limits _{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}=2(\frac{1}{\sqrt2}-2\frac{1}{6\sqrt2})=\\\\=2\cdot \frac{2}{6\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{3}$