Две окружности внутренне касаются друг друга в точке А. AB - Диаметр большей окружности....

Question

Две окружности внутренне касаются друг друга в точке А.
AB - Диаметр большей окружности. Хорда ВМ большей окружности касается меньшей окружности в точке C, прямая АС пересекает большую окружность в точке D. Известно, что BC=4, CM=2,4. Найти радиусы окружностей и длину хорды AD

Answer 1

О₁- центр малой окр., О₂ - центр большой. О₁СВ и АМВ - прямые углы, поэтому АМ||О₁С. Из подобия треугольников АМВ и  О₁СВ следует, что АМ=1.6r.(r радиус малой окружности) По теореме Пифагора АМ²+МВ²=АВ², или (1.6r)²+6.4²=(2R)².

Из треугольника СВО₁ следует СВ²+СО₁²=О₁В² или 4²+r²=(2R-r)²

16+r²=4R²-4Rr+r². Выражаем радиус малой окружности r=R-4/R. Теперь решаем систему уравнений способом подстановки.

-1,44R²+20.48+40.96/R²=0;    R²=t;     1.44t²+20.48t+40.96=0

t₁=16,  t₂<0.</p>

R²=16; R=4.  r=4-4/4=3.

 Теперь находим АМ=3*1,6=4,8;

АС по теореме Пифагора из треугольника АМС. АС=2,4√5.

По теореме о хордах АС*СD=MC*CB. CD=0.8√5;

AD=0.8√5+2.4√5=3.2√5. Задача не из легких!!!.