В конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера...

Question

В конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 158, а). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известны r и φ;
Помогите, расписывая досконально до мелочей

Comments

Если сделать осевое сечение конуса вместе со сферой, то задача сведется к нахождению радиуса вписанной окружности R в равнобедренный треугольник с основанием 2r и углом при вершине 2φ

---

Самый тупой (именно так) способ - найти площадь и ПОЛУпериметр, тогда R = S/p; очевидно S = r*(r*cgt(φ)); p = r + r/sin(φ);

---

Ну и все. R = r*ctg(φ)/(1 + 1/sin(φ)); тригонометрию надо поупрощать..

Answer 1

Рассмотрим осевое сечение. Это равнобедренный треугольник с основанием диаметр основания конуса и боковыми сторонами образующие конуса. Угол между боковыми сторонами пси, длина основания 2r, радиус вписанной окружности R. Центр этой окружности - пересечение биссектрис. Высота из вершины конуса совпадает с биссектрисой по свойству равнобедр. треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами высота, образующая, радиус основания. В нем верхний угол (пси/2), при основании соотв. (90-пси/2). И самый маленький треугольник с вершиной в центре круга, сторонами r, R и часть биссектрисы угла (90-пси/2). Он так же прямоугольный. Соотв. Угол в нем при центре круга (90-(90-пси/2)/2)=(45+пси/4). Этот треугольник связывает все наши данные воедино - катеты r и R, угол при катете R (45+пси/4). Остается только выразить. r/R = tg(45+пси/4) Ответ: а) r = R*tg(45+пси/4) б) R = r/tg(45+пси/4)