Найдите наименьшее значение функции f (x)=4^x - 2^x+4 + 100

Для поиска наименьшего значения функции $f(x)$ необходимо найти ноли производной $f'(x) = 0 ,$ т.е. точки, где у функции будет экстремум, и показать, что до экстремума функция $f(x)$ падает, т.е. производная $f'(x) < 0 ,$ а после экстремума функция растёт, т.е. производная 0 . " alt=" f'(x) > 0 . " align="absmiddle" class="latex-formula">

Пользуемся правилами дифференцирования:

1) $( e^x )' = e^x$ ;

2) $( \psi (kx+q) )' = k \psi '(kx+q)$ ;

3) $( a^{x+b} )' = ( ( e^{ \ln{a} } )^{x+b} )' = ( e^{ (x+b) \ln{a} } )' = \ln{a} \cdot e^{ (x+b) \ln{a} } = \ln{a} \cdot a^{x+b}$ ;

Берём производную, в соответствии с 3) :

$f'(x) = \ln{4} \cdot 4^x - \ln{2} \cdot 2^{x+4} =$

$= 2\ln{2} \cdot (2^2)^x - \ln{2} \cdot 2^{x+4} = \ln{2} ( 2^1 \cdot 2^{2x} - 2^{x+4} )$ ;

$f'(x) = \ln{2} ( 2^{2x+1} - 2^{x+4} )$ ;

Потребуем: $f'(x) = 0$ ;

$\ln{2} ( 2^{2x+1} - 2^{x+4} ) = 0$ ;

$2^{2x+1} = 2^{x+4}$ ;

$2x+1 = x+4$ ;

$x = 3 ,$ причём это единственный корень.

При $x < 3 ,$ например при $x = 0 , f'(x=0) = \ln{2} ( 2^{ 2 \cdot 0 + 1 } - 2^{ 0 + 4 } ) = \ln{2} ( 2^1 - 2^4 ) < 0 ,$ т.е. функция убывает.

При 3 , " alt=" x > 3 , " align="absmiddle" class="latex-formula"> например при 0 , " alt=" x = 4 , f'(x=4) = \ln{2} ( 2^{ 2 \cdot 4 + 1 } - 2^{ 4 + 4 } ) = \ln{2} ( 2^9 - 2^8 ) > 0 , " align="absmiddle" class="latex-formula"> т.е. функция растёт.

Значит при $x = 3$ как раз достигается минимум: $f(x = 3) = 4^3 - 2^{3+4} + 100 = 64 - 128 + 100 = 36$ ;

О т в е т : $min(f(x)) = 36 .$