В пар-мме ABCD точка M - середина стороны CD, K - середина стороны AB. Известно, что...

Question

В пар-мме ABCD точка M - середина стороны CD, K - середина стороны AB. Известно, что KC=MB. Докажите, что ABCD - прямоугольник

Answer 1

Параллелограмм АВСД, проводим линию КМ, получаем параллелограмм КВСМ, где КС и ВМ - диагонали Треугольники ВКМ и КСМ равны СМ=КВ, КМ=ВС, угол КМС=углу КВС (в параллелограмме противоположные углы равны) треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. ВМ=КС , диагонали равны . ЕСли в параллелограмме диагонали равны то это прямоугольник (теорема). Угол В=углу С=90, Сумма углов по одной стороне =180, значит угол А=углу Д=180-90=90. АВСД - прямоугольник

Answer 2

См. рисуок, цветным обозначены равные отрезки.

1. Так как в пар-мме противолежащие стороны равны и параллельны, то соединив отрезком середины противолежащих сторон АВ и CD получим отрезок МК, равный ВС и AD

2. Проведя МК мы разделили пар-мм ABCD на два равных параллерограмма: АКМD и КВСМ

3. Рассмотрим КВСМ: 

    КС и ВМ являются диагоналями этого пар-мма, а по свойству пар-мма диагонали  пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно КО=ОС и ВО=ВМ, но так как КС=ВМ, то все четыре отрезка равны КО=ОС=ВО=ВМ

4. Рассмотрим ΔКВС. У него:

    Т.к. КО=ОС, то ВО - медиана, но и ВО=КО=ОС, значит, медиана ВО проведена из вершины прямого угла (свойство п/у тругольника), угол КВС=90 градусов

6. Параллерограмм, у котрого хотя бы один угол равен 90 градусам, является прямоугольником, следовательно ABCD - прямоугольник

Ч.т.д.