Предположим противоположное, что 
- является рациональным числом, тогда его можно записать в виде несократимой дроби 
, где P,Q - некоторые целые числа
так как P, Q, 11 - целые, то Р делится на 11, а значит его можно записать в виде
P=11k, где k - некоторое действительное число
так как P, Q, 11 - целые, то Q делится на 11, что невозможно у P и Q нет общих делителей кроме 1 или -1. Пришли к противоречию.
Значит корень из 11 не является рациональным числом, т.е. корень из 11 является иррациональным числом. Доказано