Там не "при вечности", а "при вечном безделье". Оно не зависит от какого-либо прилагательного, но зависит от существительного.
При вечном безделье не в радость веселье. Безделье(главное слово), При Вечном(зависимое)
При каком безделье? При вечном. Вечном - прилагательное.