В зависимости от a определить количество корней уравнения: x^3+6x^2-15x+3a=0

Может это можно сделать и проще, но вот как бы поступил я: определить экстремумы, типы экстремумов и соответственно начертить график.
Let $f(a, x) = x^{3}+6x^{2}-15x+3a$
$\frac{d}{dx}f(a,x) = 3x^{2}+12x-15$
x^{2}+4x-5=0 <=> \left[^{x=1}_{x=-5}" alt="\frac{d}{dx}f(a,x) = 0 <=> x^{2}+4x-5=0 <=> \left[^{x=1}_{x=-5}" align="absmiddle" class="latex-formula">
$f(a,1) = 3a-8$
$f(a,-5) = 3a-50$
$\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,x) = 6x + 12$
$\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,1) = 18$
$\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(a,-5) = -18$
Тогда x=1 - Минимум, а x=-5 - Максимум
Есть три варианта: либо 1 корень, либо 2, либо 3:
1 корень означает, что интервал [3a-50, 3a-8] не содержит 0, то есть
$a \in (-\infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{50}{3}, \infty)$
2 корня:
$a \in \{\frac{8}{3}\} \cup \{\frac{50}{3}\}$
3 корня:
$a \in (\frac{8}{3}, \frac{50}{3})$