4) Оба уравнения выразим относительно у:
{y = x² - 8
{y = -x - 2.
Приравниваем уравнения: x² - 8 = -x - 2.
Получаем квадратное уравнение:
x² + x - 6 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;
x_2=(-√25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.
Задача имеет 2 корня: 2 и -3.
5) x² + y² = 26 (1)
xy = -5 (2)
Произведём замену из уравнения (2): у = -5/х и подставим в уравнение (1).
х² + (-5/х)² = 26. х² + (25/х²) = 26.
Приведём к общему знаменателю:
х⁴ + 25 = 26х².
Получили биквадратное уравнение:
х⁴ - 26х² + 25 = 0.
Заменим х² = z:
z² - 26z + 25 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-26)^2-4*1*25=676-4*25=676-100=576;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
z_1=(√576-(-26))/(2*1)=(24-(-26))/2=(24+26)/2=50/2=25;
z_2=(-√576-(-26))/(2*1)=(-24-(-26))/2=(-24+26)/2=2/2=1.
Так как х = +-√z, то получаем 4 значения х:
х₁ = 5,
х₂ = -5,
х₃ = 1,
х₄ = -1.
И 4 значения у = -5/х:
у₁ = -1,
у₂ = 1,
у₃ = -5,
у₄ = 5.
6) График заданной функции - парабола ветвями вверх.
Решением есть точки пересечения этой параболой оси х.
График и таблица координат точек для его построения приведены в приложении.
7) По условию задачи составляем 2 уравнения:
Из 2-го уравнения после сокращения на 4, получаем V₁ + V₂ = 18.
Значение V₂ = 18 - V₁ подставляем в 1_е уравнение.
Получаем квадратное уравнение:
V₁² + 62V₁ - 720 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно V:
Ищем дискриминант:D=62^2-4*1*(-720)=3844-4*(-720)=3844-(-4*720)=3844-(-2880)=3844+2880=6724;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
V_1=(√6724-62)/(2*1)=(82-62)/2=20/2=10;
V_2=(-√6724-62)/(2*1)=(-82-62)/2=-144/2=-72 (отбрасываем).
Ответ: V₁ = 10 км/час,
V₂ = 18 - 10 = 8 км/час.
