Вычислить неопределенные интегралы: (во вложений) Все задания с полным решением....

Question 1

Вычислить неопределенные интегралы:
(во вложений)
Все задания с полным решением. Пожалуйста...

Question 2

Вычислите неопределенные интегралы

a) $\int\limits{x*arctg(2x)} \, dx$

Интегрируем по частям

$\int\limits {U(x)} \, dV(x)=U(x)V(x)- \int\limits{V(x)} \, dU(x)$

$\int\limits{x*arctg(2x)} \, dx=\begin{vmatrix}U=arctg(2x)\, \; dU=\frac{2}{4x^2+1}dx\\dV=xdx\; V=\frac{x^2}{2} \end{vmatrix} =$ $\frac{x^2}{2}*arctg(2x)- \int\limits{ \frac{x^2}{4x^2+1} } \, dx$

Находим второй интеграл отдельно

$\int\limits{ \frac{x^2}{4x^2+1} } \, dx = \frac{1}{4}\int\limits{ \frac{4x^2+1-1}{4x^2+1} } \, dx=\frac{1}{4}\int\limits{(1-\frac{1}{4x^2+1} }) \, dx =$

$=\frac{1}{4}\int\limits{}dx-\frac{1}{4}\int\limits{\frac{1}{4x^2+1} } \, dx=\frac{x}{4}-\frac{1}{8}\int\limits{\frac{1}{(2x)^2+1} } \, d(2x)=$

$=\frac{x}{4}-\frac{1}{8}*arctg(2x)+C$

Окончательно запишем

$\int\limits{x*arctg(2x)} \, dx =\frac{x^2}{2}*arctg(2x)+\frac{1}{8}arctg(2x)-\frac{x}{4}+C$

б) $\int\limits { \frac{x+ln^2(x)}{x}} \, dx= \int\limits {(1+\frac{ln^2(x)}{x})} \, dx= \int\limits{} \, dx+\int\limits {\frac{ln^2(x)}{x}} \, dx=x+\int\limits {\frac{ln^2(x)}{x}} \, dx$

Второй интеграл найдем отдельно

$\int\limits {\frac{ln^2(x)}{x}} \, dx =\begin{vmatrix}u=ln(x)\\du=\frac{1}{x}dx\end{vmatrix}= \int\limits{u^2} \, du= \frac{u^3}{3}+C= \frac{ln^3(x)}{3}+C$

Таким образом получили

$\int\limits { \frac{x+ln^2(x)}{x}} \, dx=x+\ \frac{1}{3}ln^3(x)+C$

в) $\int\limits{ \frac{ \sqrt{x-2}}{1+ \sqrt{x-2} } } \, dx$

Используем замену переменных

$\int\limits{ \frac{ \sqrt{x-2}}{1+ \sqrt{x-2} } } \, dx=\begin{vmatrix}x-2=u^2\\dx=2udu\end{vmatrix}=\int\limits{ \frac{ 2u^2}{1+ u } \,du= 2\int\limits{(u-1+ \frac{1}{u+1}) } \, du=$

$=u^2-2u+ ln(u+1)+C= x-2+2 \sqrt{x-2}+ln( \sqrt{x-2}+1)+C$

г) $\int\limits{ cos\frac{x}{ \sqrt{2} }} \, dx= \sqrt{2} \int\limits{ cos\frac{x}{ \sqrt{2} }} \, d( \frac{x}{ \sqrt{2} } ) =\sqrt{2}*sin\frac{x}{ \sqrt{2}} +C$

Question 3

Огромное спасибо вам!~