1) Составить уравнение плоскости,проходящей через точки A,B,C.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
| x - xA y - yA z - zA |
|xB - xA yB - yA zB - zA |
|xC - xA yC - yA zC - zA |= 0
Подставим данные и упростим выражение:
|x - 0 y - 8 z - 0|
|2 - 0 (-1) - 8 0 - 0|
|3 - 0 0 - 8 1 - 0 |= 0
|x - 0 y - 8 z - 0|
| 2 -9 0 |
| 3 -8 1 | = 0
(x - 0)(-9·1-0·(-8)) - (y - 8)(2·1-0·3) + (z - 0)(2·(-8)-(-9)·3) = 0
(-9)(x - 0) + (-2)(y - 8) + 11(z - 0) = 0
- 9x - 2y + 11z + 16 = 0
Без определителей надо решить систему из трёх уравнений:
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (0) + B · (8) + C · (0) + D = 0 ,
A · (2) + B · (-1) + C · (0) + D = 0 ,
A · (3) + B · (0) + C · (1) + D = 0 .
Получим уравнение плоскости:
- 9 · x - 2 · y + 11 · z + 16 = 0 .
2) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q.
В общем уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0, вектор N→=(A;B;C) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты N→=(−9;-2;11)
Вспомним каноническое уравнение прямой (x−x0)/m=(y−y0)n=
(z−z0)p(1), где координаты (x0;y0;z0) - координаты точки, принадлежащей прямой, согласно условия задачи это точка М( 2; 1; -1).
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11.
3) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy,xOz,yOz
Уравнение прямой через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11 в параметрическом виде (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11=t.
Выразим переменные через t:
x = -9t + 2
y = -2t + 1
z = 11t - 1 и подставим в уравнение плоскости:
- 9(-9t + 2) - 2(-2t + 1) + 11(11t - 1) + 16 = 0
81t - 18 + 4t - 2 + 121t - 11 + 16 = 0
206t - 15 = 0
t = 15 / 206 = 0.072816.
Координаты точки пересечения :
x = -9t +
2 = 1.3446602 ,
y = -2t + 1 = 0.8543689,
z = 11t - 1 = -0.199029.
Найдем точки пересечения прямой с координатными плоскостями:
точка пересечения прямой с плоскостью xOy; z=0,
(x−2)/−9=(y-1)/-2=(0+1)/11=> (x−2)/−9=(y-1)/-2=1/11 запишем систему уравнений:
(x−2)/−9 = 1/11
11х - 22 = -9
х = (22 - 9) / 11 = 13 / 11 = 1.181818.
(y-1)/-2 = 1/11
11у - 11 = -2
у = (-2 + 11) / 11 = 9 / 11 = 0.818182.
z = 0.
Точка пересечения прямой с плоскостью xOz; y=0,
(x−2)/−9=(0-1)/-2=(z+1)/11 => запишем систему уравнений:
(x−2)/−9=(0-1)/-2 = 1/2
2х - 4 = -9
х = (-9 + 4) / 2 =-5 / 2 = -2,5.
(z+1) / 11 = 1/2
2z + 2 = 11
z = (11 - 2) / 2 = 9 / 2 = 4,5/
y = 0.
Точка пересечения прямой с плоскостью yOz; x=0,
(0−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11=> (y-1)/-2=(z+1)/11 = 2/9 запишем систему уравнений:
(y-1) / -2 = 2 / 9
9у - 9 = -4
у = (9 - 4) / 9 = 5 / 9 = 0.555556.
(z +1) / 11 = 2 / 9
9z+ 9 = 22
z = (22 - 9) / 9 = 13 / 9 = 1.444444.
x = 0.
4)Найти расстояние от точки M до плоскости Q.
Расстояние от точки M(x0;y0;z0) до плоcкости рассчитывается по формуле d=(|Ax0+By0+Cz0+D|) / √(A²+B²+C²),
где Ax0+By0+Cz0+D - общее уравнение плоскости,
x0;y0;z0 - координаты точки M(x0;y0;z0)
Рассмотрим уравнение плоскости Q: - 9x - 2y + 11z + 16 = 0 - общее уравнение плоскости.
A=−9;B=-2;C=11D=16
Координаты точки M(2;1;−1).
Подставим в формулу данныеd = |-9·2 + (-2)·1 + 11·(-1) + 16| = |-18 - 2 - 11 + 16| =√(-9)2 + (-2)2 + 112√81 + 4 + 121= 15 = 15√206 ≈ 1.0450995214374266.