Помогите 66 пожалуйста!Буду вам очень благодарна

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-14T00:34:38+0000

Возведём в квадрат выражение для медианы $m_c$ , проведённой к стороне $c ,$ предварительно умножив его на $2$ , и получим:

$( 2 m_c )^2 = 2 ( a^2 + b^2 ) - c^2$ ;

Используя теорему косинусов для исключения значения $c$ из искомого выражения, получим:

$( 2 m_c )^2 = 2 ( a^2 + b^2 ) - ( a^2 + b^2 - 2 ab \cos{ \gamma } )$ ;

$( 2 m_c )^2 = 2 a^2 + 2 b^2 - a^2 - b^2 + 2 ab \cos{ \gamma }$ ;

$( 2 m_c )^2 = a^2 + b^2 + 2 ab \cos{ \gamma }$ ;

$a^2 + [ 2b \cos{ \gamma } ] \cdot a - [ ( 2 m_c )^2 - b^2 ] = 0$ ;

Итак, мы получили параметрическое приведённое квадратное уравнение (старший коэффициент равен единице) с чётным центральным линейным коэффициентом $q = 2 q_1 ,$ где $q_1 = b \cos{ \gamma }$ и свободным слагаемым $p = - [ ( 2 m_c )^2 - b^2 ]$ ;

Его решения выражаются, как:

$a_{1,2} = -q_1 \pm \sqrt{ D_{1P} } ,$ где $D_{1P} = q_1^2 - p ,$

где чётно-приведённый дискриминант $D_{1P}$ выражается, как:

$D_{1P} = ( b \cos{ \gamma } )^2 + ( 2 m_c )^2 - b^2 = b^2 ( \cos^2{ \gamma } - 1 + ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 ) = b^2 ( ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } )$

и: $\sqrt{ D_{1P} } = b \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } }$ ;

В итоге:

$a_{1,2} = -b \cos{ \gamma } \pm b \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } = b ( \pm \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } - \cos{ \gamma } )$ ;

На первый взгляд, может обманчиво (!) показаться, что при использовании перед корнем из дискриминанта знака «минус», решение в целом будет отрицательным, а стало быть, нужно брать только одно решение со знаком «плюс» перед корнем из дискриминанта. НО ЭТО НЕ ТАК! Если угол $\gamma$ – тупой, то $\cos{ \gamma } < 0$ и слагаемое 0 " alt=" [ -\cos{ \gamma } ] > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> , так что если это слагаемое по модулю будет больше корня из дискриминанта, то оба решения будут положительными и значит при заданных медиане $m_c ,$ стороне $b$ и значения угла $\gamma$ – будут возможны два варианта стороны $a$ и соответственно два несколько различных треугольника!

Чтобы понять, когда второй корень будет тоже положительным, потребуем:

0 " alt=" a_2 = b ( -\sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } - \cos{ \gamma } ) > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> ;

0 " alt=" -\sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } - \cos{ \gamma } > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> ;

0 , " alt=" \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } < - \cos{ \gamma } > 0 , " align="absmiddle" class="latex-formula"> при $\gamma \in ( 90^o ; 180^o)$ ;

$( \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } )^2 < ( - \cos{ \gamma } )^2$ ;

$( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } < \cos^2{ \gamma }$ ;

$( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 < \sin^2{ \gamma } + \cos^2{ \gamma }$ ;

$( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 < 1 ,$ поскольку: 0 " alt=" m_c > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> и 0 , " alt=" b > 0 , " align="absmiddle" class="latex-formula"> то:

$\frac{ 2 m_c }{b} < 1$ ;

$2 m_c < b$ ;

$m_c < \frac{b}{2}$ – именно при таком условии, в случае, когда угол $\gamma$ – тупой, имеется два различных решения для $a$ и два различных треугольника.

О т в е т :

Если угол $\gamma$ – тупой, и медиана $m_c < \frac{b}{2} ,$ то существует два различных треугольника со сторонами:

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+a_%7B1%2C2%7D+%3D+b+%28+%7C+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%7C+%5Cpm+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+%29+" id="TexFormula43" title=" a_{1,2} = b ( | \cos{ \gamma } | \pm \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } ) " alt=" a_{1,2} = b ( | \cos{ \gamma } | \