В треугольнике ABC точка M лежит стороне AC, а точка L стороне BC расположена так,...

Question

58 просмотров

В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AC, а точка L на стороне BC расположена так, что BL : LC = 2 : 5. Прямая, проходящая через точку L параллельно стороне AB, пересекает отрезок BM в точке O, причем BO : OM=7 : 4. Найдите отношение, в котором точка M делит сторону AC, считая от точки C.

Математика GabrielGrey_zn (83 баллов) 14 Апр, 18 | 58 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Задачу можно решить двумя способами:
1) посредством формул, аксиом и теорем планиметрии, изучаемых в стандартной школьной программе;
2) и через привлечение теоремы Менелая.
Решим её обоими способами:

[[[ 1 ]]] с п о с о б

Обозначим длины сторон треугольника $\Delta ABC$ как:

$AB = c$ ;
$BC = a$ ;
и $AC = b$ ;

Тогда: $BL = \frac{2}{7} a$ ;

Обозначим $MC = xb ,$ где $x$ – некоторое число,

такое, что: $0 < x < 1$ ;

Найдя это число $x ,$ мы найдём и пропорцию, в которой $BM$ делит сторону $AC$ ;

Проведём прямую $LQ || AC ,$ тогда по трём углам: $\Delta QBL \sim \Delta MBC ,$

а значит: $\frac{QL}{MC} = \frac{BL}{BC}$ и $\frac{BQ}{BM} = \frac{BL}{BC}$ ;

$QL = \frac{ \frac{2}{7} a }{a} MC$ и $BQ = \frac{ \frac{2}{7} a }{a} BM$ ;

[1] $QL = \frac{2}{7} xb$ и $BQ = \frac{2}{7} BM$ ;

Поскольку $BO = \frac{7}{7+4} BM = \frac{7}{11} BM ,$ то:

$QO = BO - BQ = \frac{7}{11} BM - \frac{2}{7} BM = ( \frac{49}{77} - \frac{22}{77} ) BM$ ;

$QO = \frac{27}{77} BM$ ;

По трём углам: $\Delta OQL \sim \Delta OMK ,$ а значит:

$\frac{MK}{QL} = \frac{MO}{QO}$ и $MK = \frac{MO}{QO} QL$ ;

Поскольку $MO = \frac{4}{7+4} BM = \frac{4}{11} BM$ и по [1] $QL = \frac{2}{7} xb ,$ то:

$MK = \frac{MO}{QO} QL = \frac{ \frac{4}{11} BM }{ \frac{27}{77} BM } \frac{2}{7} xb = \frac{4}{11} \cdot \frac{77}{27} \cdot \frac{2}{7} xb = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{2}{1} xb$ ;

$MK = \frac{8}{27} xb$ ;

По теореме Фалеса, об отсечении параллельными прямыми внутри угла пропорциональных отрезков, получается, что:

$KC = \frac{5}{7} b$ ;

Тогда получаем уравнение:

$KC = KM + MC$ ;

$\frac{5}{7} b = \frac{8}{27} xb + xb$ ;

$\frac{5}{7} = ( 1 + \frac{8}{27} ) x$ ;

$\frac{5}{7} = \frac{35}{27} x$ ;

$x = \frac{5}{7} : \frac{35}{27} = \frac{5}{7} \cdot \frac{27}{35} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27}{7}$ ;

$x = \frac{27}{49}$ ;

Значит $MC = \frac{27}{49} AC$ и $AM = \frac{22}{49} AC ,$ откуда ясно, что отношение, в котором точка $M$ делит сторону $AC ,$ считая от точки $C ,$ будет:

$CM : MA = \frac{27}{49} AC : \frac{22}{49} AC$ ;

$CM : MA = 27 : 22 .$

[[[ 2 ]]] с п о с о б

Применим теорему Менелая

в треугольнике $\Delta BCM$ с секущей $KL$ :

$\frac{BL}{LC} \cdot \frac{CK}{KM} \cdot \frac{MO}{OB} = 1$ ;

$\frac{2}{5} \cdot \frac{ \frac{5}{7} b }{KM} \cdot \frac{4}{7} = 1$ ;

$\frac{5}{7} b : KM = \frac{35}{8}$ ;

$\frac{5}{7} b : \frac{35}{8} = KM$ ;

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+KM+%3D+%5Cfrac%7B5%7D%7B7%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B8%7D%7B35%7D+b+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B8%7D%7B7%7D+b+" id="TexFormula50" title=" KM = \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{35} b = \frac{1}{7} \cdot \frac{8}{7} b