В выпуклом четырех угольнике ABCD угол ABD равен углу ACD. Докажите, что угол ACB равен...

Question

В выпуклом четырех угольнике ABCD угол ABD равен углу ACD. Докажите, что угол ACB равен углу ADB

Comments

По теореме синусов вокруг АВД и АСД можно описать одну и ту же окружность. Тогда четырехугольник АВСД вписан в окружность, где вписанные углы АСВ и АДВ опираются на одну и ту же дугу. На этом основании они равны. 

---

Чтобы описать четырех угольник окружностью, должно выполняться такое условие, что угол А+ угол С= 180 =Угол В+ угол D

---

Для решения этой задачи нужно определить, что вокруг треугольников АВD и АСD  можно описать окружность с диаметром АD:sin ABD ( равный синусу АСD). А так как все вершины четырехугольника лежат на окружности, он - вписан. Доказывать  сумму противоположных углов здесь нет нужды. 

Answer 1

Обозначим пересечение диагоналей ВД и АС точкой О.Рассмотрим ∆ВОА и ∆СОД. Угол АВД=углу АСД по условию. Угол ВОА= углу СОД как вертикальные углы,следовательно,∆ВОА и ∆СОД- подобны. Откуда АО/ДО=ВО/СО=ВА/СД. Равенство АО/ДО=ВО/СО справедливо и как АО/ВО=ДО/СО. Рассмотрим ∆АОД и ∆ ВОС, угол АОД=углу ВОС как вертикальные и есть равенство АО/ВО=ДО/СО следовательно треугольники подобны. Поэтому угол ВДА= углу ВСА.

Answer 2

∠ABD =∠ACD ; сторона  AD  из точек  B  и  C видно под одним и тем же углом.Геометрическое место  таких точек  из себя представляет  сегмент 
∠ABD =∠ACD  = (1/2) градусную меру дуги AD .
∠ACB =∠ADB = (1/2)*дуги AB.

Comments

А дальше?

---

Треугольник ABO подобен треугольнику CDO, точка О является пересегением диоганалей. А дальше?