I. Вокруг (неё) - предлог, т.к. служит для связи слов в словосочетании бегая (где? вокруг кого?) вокруг неё (Р.п.), неизменяемая часть речи.
II. Морфологические признаки:
- простой,
- производный,
- отношения объектно-пространственные.
III. Не является членом предложения, но входит в состав ... а дальше нужен контекст в котором употреблен предлог