Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?...

Пусть катеты будут равны x и xq, а гипотенуза - xq². Тогда по теореме Пифагора:
x² + x²q² = x²q⁴

x² (q⁴ - q² - 1) = 0
Произведение равно нулю, если хотя один из множителей равен нулю
$q^4-q^2-1=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно $q^2$ .
$D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=5\\ \\ q^2= \dfrac{1- \sqrt{5} }{2}$
Это уравнение решений не имеет.
$q^2=\dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} ;~~~~~\Rightarrow~~~~~ \boxed{q= \sqrt{\dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} } }$

Теперь рассмотрим другой случай. Пусть x - гипотенуза, тогда xq и xq² - катеты. Согласно теореме Пифагора:
x² = x²q² + x²q⁴
1 = q² + q⁴
q⁴ + q² -1 = 0 (*)
Решаем последнее уравнение (*) , как квадратное уравнение относительно q²
$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-1)=5\\ \\ q^2= \dfrac{-1- \sqrt{5} }{2}$
Это уравнение действительных корней не имеет.

$q^2= \dfrac{ \sqrt{5} -1}{2} ;~~~~~~\Rightarrow~~~~~ \boxed{q=\sqrt{\dfrac{ \sqrt{5} -1}{2} }}$

Этот случай получается из предыдущего заменой $q$ на $\frac{1}{q}$