Отправляясь на войну с троянцами - обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом.
Царь острова Итака - подлежащее.
Одиссей - приложение (определение).
Вверил - сказуемое.
Заботам - дополнение.
Ментора - определение (чьим?).
Свой - определение.
Дом - дополнение.
Воспитание - дополнение.
Своего, родившегося, Телемака - определения.
Недавно - обстоятельство.
Сына - дополнение.