Чтобы показать, что векторы образуют базис, надо посчитать определитель D(A) матрицы А, составленной из векторов а1, а2 и а3:
(2 3 1)
(1 -1 -1)
(3 1 -2)
Это будет 4 + 1 - 9 + 3 + 2 + 6 = 7
Определитель не равен нулю, значит, векторы а1, а2 и а3 линейно независимы и образуют базис.
Чтобы найти координаты вектора b в этом базисе, надо решить систему линейных уравнений Ах = b
D(A) = 7
D1:
(7 3 1)
(0 -1 -1)
(7 1 -2)
D1 = 14 - 21 + 7 + 7 = 7
D2:
(2 7 1)
(1 0 -1)
(3 7 -2)
D2 = -21 + 7 + 14 + 14 = 14
D3:
(2 3 7)
(1 1 0)
(3 1 7)
D3 = 14 + 7 - 21 - 21 = -21
Тогда b1 = D1/D = 7/7 = 1
b2 = D2/D = 14/7 = 2
b3 = D3/D = -21/7 = -3
Окончательно b = (1, 2, -3)