докажите тождество (〖sin〗^4 α-〖cos〗^4 α)/(〖sin〗^2 α)+2〖ctg〗^2 α=1/(〖sin〗^2 α) напишите...

Question

докажите тождество (〖sin〗^4 α-〖cos〗^4 α)/(〖sin〗^2 α)+2〖ctg〗^2 α=1/(〖sin〗^2 α) напишите подробно как доказать

Answer 1

(sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α=1/(sin²α) 

чтобы доказать какое-либо дождество надо одну из частей привести к другой. Мы будем рассматривать левую часть и приведем ее к виду правой:

 

(sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α = (sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = 

теперь воспоьзуемся тождеством:

sin²α+cos²α=1

sin²α=1-cos²α

и подставим в числителе полученное выражение:

 = (1-cos²α-cos²α)(1-cos²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = (1-2cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = 

теперь применим, что

ctg²α = cos²α/sin²α

подставим:

= (1-2cos²α)/(sin²α)+2cos²α/sin²α = (1-2cos²α+2cos²α)/(sin²α) = 1/(sin²α)  - а это и есть правая часть нашего тождества. Следовательно, оно доказано.