Решите систему уравнений: 3х^2-8ху+4у^2=0 х^2+у^2+13(х-у)=0

Question 1

Решите систему уравнений:
3х^2-8ху+4у^2=0
х^2+у^2+13(х-у)=0

Question 2

$\begin{cases} 3x^2-8xy+4y^2=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} 3x^2-6xy-2xy+4y^2=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} 3x(x-2y)-2y(x-2y)=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} (x-2y)(3x-2y)=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases}$
Так как в первом уравнении стоит произведение двух множителей, которое равно нулю, то рассмотрим совокупность двух систем:
$\left[\begin{array}$ \begin{cases} x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\ \begin{cases} 3x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \end{array}\right.$
Решаем первую систему:
$\begin{cases} x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ x=2y \\\ (2y)^2+y^2+13(2y-y)=0 \\\ 4y^2+y^2+13y=0 \\\ 5y^2+13y=0 \\\ y(5y+13)=0 \\\ y_1=0; \ x_1=2\cdot0=0 \\\ 5y+13=0; \ y_2=- \frac{13}{5} ; \ x_2=2\cdot(- \frac{13}{5} )= -\frac{26}{5}$
Решаем вторую систему:
$\begin{cases} 3x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ y=1.5x \\\ x^2+(1.5x)^2+13(x-1.5x)=0 \\\ x^2+2.25x^2-6.5x=0 \\\ 3.25x^2-6.5x=0 \\\ x(3.25x-6.5)=0 \\\ x_3=0; \ y_3=1.5\cdot0=0 \\\ 3.25x-6.5=0; \ x_4=2 ; \ y_4=1.5\cdot2= 3$
В ответ идут и решения первой и решения второй системы.
Ответ: (0; 0); (-26/5; -13/5); (2; 3)

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-04-15T07:55:27+0000

$\begin{cases} 3x^2-8xy+4y^2=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} 3x^2-6xy-2xy+4y^2=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} 3x(x-2y)-2y(x-2y)=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} (x-2y)(3x-2y)=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases}$
Так как в первом уравнении стоит произведение двух множителей, которое равно нулю, то рассмотрим совокупность двух систем:
$\left[\begin{array}$ \begin{cases} x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\ \begin{cases} 3x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \end{array}\right.$
Решаем первую систему:
$\begin{cases} x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ x=2y \\\ (2y)^2+y^2+13(2y-y)=0 \\\ 4y^2+y^2+13y=0 \\\ 5y^2+13y=0 \\\ y(5y+13)=0 \\\ y_1=0; \ x_1=2\cdot0=0 \\\ 5y+13=0; \ y_2=- \frac{13}{5} ; \ x_2=2\cdot(- \frac{13}{5} )= -\frac{26}{5}$
Решаем вторую систему:
$\begin{cases} 3x-2y=0 \\ x^2+y^2+13(x-y)=0 \right \end{cases} \\\ y=1.5x \\\ x^2+(1.5x)^2+13(x-1.5x)=0 \\\ x^2+2.25x^2-6.5x=0 \\\ 3.25x^2-6.5x=0 \\\ x(3.25x-6.5)=0 \\\ x_3=0; \ y_3=1.5\cdot0=0 \\\ 3.25x-6.5=0; \ x_4=2 ; \ y_4=1.5\cdot2= 3$
В ответ идут и решения первой и решения второй системы.
Ответ: (0; 0); (-26/5; -13/5); (2; 3)