9 класс! 99 баллов!!! По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно...

Question

9 класс! 99 баллов!!!
По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

Answer 1

Решение :  1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) = 
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
= (1! · 3! ·…· 19!)2 · 210 · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)2 (25)2 · 10!