Найти минимум и максимум функции f(x)=10ln*x1+x1*x2

Область определения $f(x)$ в пространстве $\{ x_1 x_2 f(x) \}$ – это первый и четвёртый квадрант плоскости $\{ x_1 x_2 \} ,$ за исключением оси $0 x_2 ,$ поскольку логарфм от неположительных чисел неопределён.

$\frac{\partial{}}{ \partial{x_1} } f(x) = \frac{10}{x_1} + x_2$ ;

$\frac{\partial{}}{ \partial{x_2} } f(x) = x_1$ ;

Решая первое уравнение относительно ноля, получим, что:

$x_1 = -\frac{10}{x_2}$ ;

Решая второе уравнение относительно ноля, получим, что: $x_1 = 0 ,$ т.е. экстремумов по второй переменной в плоскостях сечения, перпендикулярно оси $0x_1$ – нет, а поскольку 0 , " alt=" x_1 > 0 , " align="absmiddle" class="latex-formula"> то и 0 " alt=" \frac{\partial{}}{ \partial{x_2} } f(x) > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> всегда, и при этом $\frac{\partial{}}{ \partial{x_2} } f(x) = const$ при фиксированном $x_1 ,$ а значит будут достигнуты бесконечности обоих знаков.

О т в е т :

$min\{ f(x) \} = -\infty$ ;

$max\{ f(x) \} = +\infty .$