Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найти высоту, поведённую к...

Гипотенуза всегда больше катета, поэтому гипотенуза равна 52. Пусть гипотенуза - с=52, а катет б=20. Пусть высота будет h, а другой катет - а.
По теореме Пифагора

$a= \sqrt{c^{2}-b^{2}}= \sqrt{52^{2}-20^{2}}=48$

Обозначим отрезки гипотенузы, на которые высота делит гипотенузу, за х (ближе к катету б) и 52-х. Теперь составим два уравнения (у нас есть два маленьких прямоугольных треугольника, образованных катетом, высотой и отрезком гипотенузы):

$\left \{{{h=20^{2}-x^{2}} \atop {h=48^{2}-(52-x)^{2}}} \right.$

Теперь приравняем эти уравнения, возведём всё, что нужно, в квадрат, перенесём всё в одну сторону и получим:

$104x=400-2304+2704 \\ x= \frac{800}{104} = \frac{100}{13}=7 \frac{9}{13}$

Ну а теперь по теореме Пифагора найдём h.

$h= \sqrt{400- \frac{10000}{169} } = \sqrt{ \frac{57600}{169} }= \frac{240}{13} =18 \frac{6}{13}$

Ответ: $18 \frac{6}{13}$