2) F(x) = -4/х -3Cosx +C
3)∫dx/√x = 2√x | в пределах от 1 до 4 = 2√4 - 2√1 = 4 - 2 = 2
∫Сos2x dx = 1/2 * Sin2x | в пределах от 0 до π/4 =
= 1/2 * Sinπ/2 - 1/2 * Sin2*0 = 1/2
4)у = 1 - х³, у = 0, х = -1
Учтём, что у = 0 - это ось х. 1-х³ = 0,⇒ х³ = 1,⇒ х = 1
∫(1-х³)dx = x - x^4/4 | в пределах от -1 до 1 =
=1 - 1/4 - ( -1 - (-1)^4)/4) = 1 - 1/4 +1 +1/4 = 2
5) х = 0 - это ось у
Теперь будем искать уравнение касательной ( чтобы потом найти пределы интегрирования
Уравнение касательной в общем виде имеет вид:
у - у0 = f'(x0)(x - x0)
Выделенные компоненты будем искать
х0 = -2
у0= 0,5*(-2)² + 2 = 4
f'(x) = (0,5x² +2)' = x
f'(-2) = -2
пишем уравнение касательной
у - 4 = -2(х +2)
у - 4 = -2х -4
у = -2х
теперь ищем пределы интегрирования. Для этого будем решать систему уравнений:
у = 0,5х² +2
у = -2х
Решаем: 0,5х² +2 = -2х
0,5х² +2х +2 = 0|*2
x² +4x +4 = 0
(x+2)² = 0
x = -2
фигура образована прямой у = -2х и параболой у = 0,5х² +2
а)∫(-2х)dx = -2x²/2 = -х² | в пределах от - 2 до 0 =
= 0 - (- (-2)²) = 4
б) ∫ (0,5х² +2)dx = 0,5x³/3 +2x | в пределах от -2 до 0=
х³/6 +2х | в пределах от -2 до 0 = 0 -(-8/6 +2*(-2)) = 8/6 +4 = 4/3 +4 =
=16/3
в) S фиг. = 16/3 - 4 = 4/3
6)у = √3/Cos²x + Sin3x +1/π
F(x) = √3 tgx - 1/3 * Cosx + 1/π * x + C
Будем искать С. Для этого нам дана точка (0;-1)
-1 = √3 *tg0 -1/3*Cos0 +1/π *0 +C
-1 = -1/3 +C
C = -1 + 1/3
C = -2/3
Наша первообразная :
F(x) = √3 tgx - 1/3 * Cosx + 1/π * x - 2/3. Теперь будем искать её значение при х = π/6
F(π/6) = √3 * tgπ/6 -1/3 * Cosπ/6 +1/π * π/6 -2/3 =
=1 -1/3 * √3/3 +1/6 -2/3 = 1 - √3/9 +1/6 -2/3= 1/2 - √3/9