Ответ можно было бы начать отвечать так:
1. Династическая приемственность: власть переходит от отца к сыну или другому родственнику-мужчине (значительно реже женщине) , засчет этого формируется мнение, что эта семья избранная, что если придет кто-то другой, то он будет как бы ненастоящий правитель. Пример: со смертью Карла 6 (Австрия) в 1740 вымерла мужская линия династии Габсбургов, но согласно Прагматической санкции Карл назначил свою дочь, Марию Терезию, наследницей в случае, если нет мужских наследников. Одна легитимация ее власти (т. е. готовность подданных и "коллег"-правителей принять ее как законную правительницу) была слишком низка, что привело к войне за австрийское наследство. Аналогично после вымирания династии Рюриковичей на Руси Шуйским и Годуновым при всех успехах внутренней политики не удалось закрепиться как династиям, т. к. это были "ну один поправил, но все равно как-то не так".
2. Обряды и церемонии: коронация, помазанние на царство, приписываемые чудотворные свойства. Так во ФРанции считалось, что французский король автоматически обладает даром исцелять болезни, поэтому после революции, директории и Наполеона, когда реставрировали Бурбонов, король при всей просвещенности эпохи совершил-таки церемониальное исцеление энного числа прокаженных. Естественно, никто не исцелился, но церемония была сохранена.
Для школьного ответа в среднем звене уберите слова легитимация и тп. Для старшей школы разверните примеры с Габсбургами, русской смутой и Бурбонами, дополните их именами.