Чему равен arcsin (sin 5) ?

Question

Дан 1 ответ

AnonimusPro_zn · Answer 1 · 2018-04-15T09:54:30+0000

По определению арксинуса:
$arcsin(sinx)=x,\ x \in[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ] \\sin(arcsinx)=x,\ x \in [-1;1]$
обозначим arcsin(sin(5)) как y
$y=arcsin(sin(5)),\ y \in[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ]$
возьмем синус с обоих частей
$sin(y)=sin(arcsin(sin(5)))$
$sin(y)=sin(5) \\sin(y)-sin(5)=0$
применим формулу разности синусов:
$2sin( \frac{y-5}{2} )*cos( \frac{y+5}{2} )=0 \\sin( \frac{y-5}{2} )*cos( \frac{y+5}{2} )=0 \\sin( \frac{y-5}{2} )=0 \\ \frac{y-5}{2} =\pi n \\y-5=2\pi n \\y_1=5+2\pi n,\ n \in Z \\cos( \frac{y+5}{2} )=0 \\ \frac{y+5}{2} = \frac{\pi}{2} +\pi n,\ n \in Z \\y+5=\pi+2\pi n \\y_2=\pi-5+2\pi n,\ n \in Z$
подберем такое значение n, чтобы значение y входило в $[- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ]$
при этом рассматриваем только y1, поскольку у нас арксинус.
$\pi \approx 3,14 \Rightarrow [- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} ] \ \textless \ =\ \textgreater \ [-1,57;1,57] \\n=0 \\y=5\notin [-1,57;1,57] \\n=1 \\y=5+2\pi \approx5+6,28\notin [-1,57;1,57] \\n=-1 \\y=5-2\pi\approx 5-6,28=-1,28\in [-1,57;1,57] \\n=-2 \\y=5-4\pi\approx -7,56 \notin [-1,57;1,57]$
нам подошло только n=-1, и при нем значение $y=5-2\pi$
А поскольку $arcsin(sin(5))=y$ , то $arcsin(sin(5))=5-2\pi$
В итоге:
$arcsin(sin(5))=5-2\pi$