А-2
а) Cosx/2 = -1/2
x/2 = +-arcCos(-1/2) + 2πk , k ∈Z
x/2 = +-2π/3 + 2πk , k ∈Z
x = +-4π/3 + 4πk , k ∈Z
б) Sin(x + π/4) = 1/2
x + π/4 = (-1)^n *arcSin1/2+nπ, n ∈Z
x + π/4 = (-1)^n*π/6 + nπ, n ∈Z
x = (-1)^n + nπ - π/4, n ∈Z.
A-3
a) tg²x -3tgx -4 = 0
решаем как квадратное
tgx = 4 и tgx = -1
x = arctg4 + πk , k ∈Z x = -π/4 + πn , n ∈Z
б) Cos2x + Cos²x + SinxCosx = 0
Cos²x - Sin²x + Cos²x + SinxCosx = 0
2Cos²x -Sin²x + CosxSinx = 0 | : Cos²x≠0
2 - tg²x + tgx = 0
tg²x -tgx -2 = 0
Решаем как квадратное
По т. Виета tgx = 2, x = arctg2 + πk , k ∈Z
tgx = -1, x =-π/4 + πn , n ∈Z
в)4Sin²x - Cosx -1 = 0
4(1 - Cos²x) - Cosx -1 = 0
4 - 4Cos²x - Cosx - 1 = 0
4Cos²x + Cosx -3 = 0
решаем как квадратное
D = 49
Cosx = 6/8 = 3/4 или Сos x = -1
x = +-arcCos3/4 +2πk , k ∈Z, x = π + πn , n ∈Z
A-4
Sinx + Cosx = √2
есть формулы универсальной подстановки:
Sinx = 2tgx/2 /(1 + tg²x/2)
Cosx = (1-tg²x/2)/(1 + tg²x/2)
наше уравнение примет вид:
2tgx/2 /(1 + tg²x/2) + (1-tg²x/2)/(1 + tg²x/2) = √2 | * ( 1+tg²x/2)≠0
2tgx/2 +1 - tg²x/2 = √2 + √2*tg²x/2
(√2 +1) tg²x/2 -2 tgx/2 + √2-1 = 0
Решаем как квадратное
D=0
tgx/2 = √2 -1
x/2 = arctg(√2 -1) + πk , k ∈Z
x = 2arctg(√2 -1) + 2πk , k ∈Z