Я предлагаю товарищу записать (так,чтобы я не видел) любое трёхзначное число,состоящее из...

Question

Я предлагаю товарищу записать (так,чтобы я не видел) любое трёхзначное число,состоящее из различных цифр (без нуля) . Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число . Пусть меньшее их этих двух чисел он вычтет из большего числа,зачеркнёт одну цифру полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить,какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Answer 1

Трехзначное число, записанное цифрами a, b, c    это 100a+10b+c
Переставляя цифры будем получать числа, записанные так:
b, c, a        это 100b+10c+a

Вычитая из первого второе получим
99a -99b-9c =9·(11a-11b-c)- число кратное 9
Т.е сумма цифр разности кратна 9
кратными 9 могут быть числа
18; 27; 36; 45; 54; 63; 72;81;90;99;...198;207;...

сумма цифр этих чисел кратна 9

Например, пусть разность равна 18

1+8=9
если зачеркнуть цифру 1, то вторая цифра 9-1=8
Товарищ назовет цифру 8, значит вы назовете цифру 1

Например, разность равна 198
Зачеркнутая цифра 9
Товарищ называет сумму других цифр
1+8=9
Сумма цифр разности кратна 9, значит зачеркнута именно цифра 9
1+9+8=18
1+8=9
18-9=9

Значит, вы добавляете 9


327 это 300+20 +7
переставив цифры
273  это 200+70+3

вычитаем  300+20+7-(200+70+3)=(300-3)+(20-200)+(7-70)=
=3·99-2·90-7·9=9·(11·3-2·10-7)=9·6=54

Разность кратна 9, сумма цифр числа 54  равна 5+4=9 кратна 9
Если зачеркнуть 4, то вторая цифра  9-4=5
Если зачеркнуть 5, вторая цифра  9-5=4