Площадь равна
S=r*a+r*(b+c)=b*c*sin(A)/2
По теорем косинусов а*a=b*b+c*c-2bc*cos(A)
Есть два уравнения и два неизвестных.
Перепишем теорему косинусов так
а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1)
(b+c)=bc*sin(A)/2r-a
ПОПРОБУЕМ:
а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1)
(b+c)=bc*sin(A)/2r-a
(b+c)=x
bc=(xr+ar)/sinA
a*a=x*x-2*(xr+ar)*(cosA+1)/sinA
a*a=x*x-2(x+a)r*ctg(A/2)
x*x-2x *ctgA/2r=a*a+2a*r*ctgA/2
(x-ctg(A/2)*r)^2=a*a+2a*r*ctgA/2+(ctg(A/2)*r)^2
(x-ctg(A/2)*r)^2=(a+ctg(A/2)*r)^2
x=a+2r*ctg(A/2)
(b+c)= a+2r*ctg(A/2)
(вот это, наверное, ввиду простоты выражения , можно было бы и из каких-то иных геометрических соображений получить)
(b-c)^2=
b*b-2bc+c*c= (a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA
(b-c)=sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))
b= (a+2r*ctg(A/2)
)/2+ sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))/2
c=(a+2r*ctg(A/2)
)/2- sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))/2
Конечно, когда решали квадратное уравнение, могли и другие корни посмотреть
Получили бы еще и симметричное решение. b и c равноправны и их можно поменять местами.
Извините , за некрасивый ответ. Надеюсь, правильный.