В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности описан правильный...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Найдём сторону a правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом R:

$sin \frac{\alpha}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{R}$ ,

где $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ , n — число сторон правильного многоугольника.

Для правильного треугольника имеем: $a = 2R \cdot sin \frac{\pi}{3}$ .

Найдём сторону A правильного многоугольника, описанного около окружности с радиусом r:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{A}{2} \cdot \frac{1}{r}$ .

Для частного случая правильного треугольника: $A = 2r \cdot tg \frac{\pi}{3}$

Окружность у нас одна и та же (R = r).

Находим отношение сторон:

$\displaystyle \frac{A}{a} = \frac{r}{R} \cdot \frac{tg \frac{\pi}{3}}{sin \frac{\pi}{3}} = 1 \cdot \frac{1}{cos \frac{\pi}{3}} = 2$

Итак, сторона описанного равностороннего треугольника в два раза больше вписанного.

Площадь равностороннего треугольника со стороной a:

$s = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h = \frac{ah}{2}$ ,

где h — высота треугольника, $h^2 = \frac{3}{4} a^2 \Rightarrow h = \frac{\sqrt 3}{2} a$ .

$s = \frac{\sqrt 3}{4} \cdot a^2$

Следовательно, площади относятся друг к другу как квадраты сторон.

$\frac{S}{s} = \left(\frac{A}{a}\right)^2 = 2^2 = 4$

P.S. Решения правятся только со второй-третей попытки.

ХорошийМатематик_zn (1.3k баллов) 08 Март, 18