Решите пожалуйста интеграл Решите пожалуйста интеграл

Question 1

Решите пожалуйста интеграл $\int\limits \sqrt(1+x)/x \, dx$ Решите пожалуйста интеграл

Question 2

знаменатель х - это подкоренное выражение?

Question 3

$\int \frac{\sqrt{1+x}}{x}dx$

Замена:

$1+x=t^2\\ x=t^2-1\\ dx=2tdt$

$\int \frac{ \sqrt{t^2}}{t^2-1}\cdot 2tdt=2\int \frac{t^2dt}{t^2-1}=2 \int \frac{(t^2-1)+1}{t^2-1}dt=2\int[ \frac{t^2-1}{t^2-1}+ \frac{1}{t^2-1}]dt=\\\\ 2\int[1+ \frac{1}{t^2-1}]dt=2\int dt+2\int \frac{1}{t^2-1}dt=2t+2\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt=2t+2Y$ ,

где $Y=\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt$ решим разложением на две простые дроби

$\frac{1}{(t-1)(t+1)}= \frac{a}{t-1}+ \frac{b}{t+1}= \frac{a(t+1)+b(t-1)}{(t-1)(t+1)}= \frac{at+a+bt-b}{(t-1)(t+1)}= \frac{(a+b)t+(a-b)}{(t-1)(t+1)}$

$\left \{ {{a+b=0} \atop {a-b=1}} \right. \Longrightarrow 2a=1 \Longrightarrow a= \frac{1}{2}; b=- \frac{1}{2}$

Тогда

$\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1}dt- \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t+1)}dt= \\\\ \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t-1)}d(t-1)- \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t+1)}d(t+1)= \frac{1}{2}\ln|t-1|- \frac{1}{2}\ln |t+1|=\\\\ \frac{1}{2}(\ln |t-1|-\ln|t+1|)= \frac{1}{2}\ln| \frac{t-1}{t+1}|= \frac{1}{2}\ln | \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}|$

Тогда ответ:

$2\sqrt{1+x}+2\cdot \frac{1}{2}\ln |\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}|+C=\\\\ 2\sqrt{1+x}+\ln | \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1} |+C$ , где C- константа