Нарисуем треугольник. Обозначим его вершины А,В,С.
Из вершины В проведем к АС медиану, продолжим ее на ее же длину. Поставим точку В1.
Соеденим В1 с вершинами треугольника А и С.
Точка М - середина АС и ВМ, а АС и ВМ в то же время диагонали четырехугольника АВСВ1.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Следовательно, АВ=СВ1 и ВС=АВ1.
Треугольники АВВ1 и ВСВ1 равны как половины параллелограмма.
ВС=АВ1
АВ+АВ1=АВ+ВС
ВВ1 -удвоенная медиана треугольника АВС = как третья сторона этих треугольников не может быть равна, и тем более больше, суммы сторон треугольника АВС.
Сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы,проведеной из той же вершины, что и требовалось доказать.