Первое. Четырехугольник AMNC вписан в окружность, и MN ll AC, как средняя линия ABC. Поэтому AMNC - равнобедренная трапеция углы при основании AC равны 30°; (разумеется, ABC - тоже равнобедренный треугольник). Кроме того, MN = AC/2;
Далее, диагональ CM трапеции (она же - медиана тр-ка ABC) - это хорда окружности, описанной вокруг AMNC, на которую опирается вписанный угол MAC = 30°; поэтому эта хорда стягивает дугу 60°; то есть равна радиусу окружности; CM = 7;
Дальше задача - просто упражнение в технике. Пусть точка K - проекция точки M на AC; тогда AK = AC/4; KC = AC*3/4; и из треугольника AMK (прямоугольного с углом в 30°) MK = AK/√3;
Для краткости я обозначу t = AK; тогда AC = 4t; KC = 3t; MK = t/√3;
Площадь ABC равна удвоенной площади треугольника ACM (так как CM - медиана), поэтому надо вычислить величину
S = 2*MK*AC/2 = t^2*4/√3;
Получается MK^2 + CK^2 = CM^2; 9t^2 + t^2/3 = 7^2;
t^2*4/√3 = 7√3; это ответ