В треугольнике ABC точка N является серединой медианы AM. Прямая CN пересекает отрезок AB...

Отложим на прямой $CN$ отрезок $NL = CN ,$

проведём отрезки $AL$ и $ML ,$

В четырёхугольнике $ACML$ – диагонали $AM$ и $CL$ делят друг друга пополам, а значит $ACML$ – параллелограмм.

И значит $ML || AC ,$ а стало быть по теореме Фалеса $AB \cap ML \equiv Q$ – середина $AB ,$ откуда следует, что $NQ$ – средняя линия $\Delta MAB ,$ и $NQ || MB || AL ,$ а поэтому $NQ$ – средняя линия $\Delta ALM ,$ т.е. $Q$ – середина $LM .$

В $\Delta ALM , LN$ и $AQ$ – мидианы.

По свойству медиан, они пересекаются в точке $P$ с отношением: $AP : PQ = 2 : 1 \ ;$

$AP = 2 PQ \ ;$

$QB = AQ = AP + PQ = 3 PQ \ ;$

$PB = PQ + QB = PQ + 3 PQ = 4PQ \ ;$

$AP : BP = 1 : 2 \ ;$

О т в е т : $AP : BP = 1 : 2 \ .$