Помогите решить интегралы

Question 1

Question 2

Харашо буду по внимательней

Question 3

Обещаю

Question 4

Спасибо еще раз большое

Question 5

1.

$\int{ \frac{ dx }{ \sqrt{3x} - 2 } } = \frac{1}{3} \int{ \frac{ d ( \sqrt{3x} )^2 }{ \sqrt{3x} - 2 } } = \frac{2}{3} \int{ \frac{ \sqrt{3x} d \sqrt{3x} }{ \sqrt{3x} - 2 } } = \frac{2}{3} \int{ \frac{ \sqrt{3x} - 2 + 2 }{ \sqrt{3x} - 2 } } \, d \sqrt{3x} = \\\\ = \frac{2}{3} \int{ ( \frac{ \sqrt{3x} - 2 }{ \sqrt{3x} - 2 } + \frac{2}{ \sqrt{3x} - 2 } ) } \, d \sqrt{3x} = \frac{2}{3} \int{ ( 1 + \frac{2}{ \sqrt{3x} - 2 } ) } \, d \sqrt{3x} = \\\\ = \frac{2}{3} \int{ d \sqrt{3x} } + \frac{4}{3} \int{ \frac{ d ( \sqrt{3x} - 2 ) }{ \sqrt{3x} - 2 } } = \frac{2}{3} \sqrt{3x} + \frac{4}{3} \ln{ | \sqrt{3x} - 2 | } + C \ ;$

$\int\limits_2^6{ \frac{ dx }{ \sqrt{3x} - 2 } } = \frac{2}{3} \sqrt{3x} |_2^6 + \frac{4}{3} \ln{ | \sqrt{3x} - 2 | } |_2^6 = \\\\ = \frac{2}{3} ( \sqrt{ 3 \cdot 6 } - \sqrt{ 3 \cdot 2 } ) + \frac{4}{3} ( \ln{ | \sqrt{ 3 \cdot 6 } - 2 | } - \ln{ | \sqrt{ 3 \cdot 2 } - 2 | } ) = \\\\ = \frac{2}{3} ( 3 \sqrt{2} - \sqrt{ 3 \cdot 2 } ) + \frac{4}{3} \ln{ \frac{ 3 \sqrt{2} - 2 }{ \sqrt{ 3 \cdot 2 } - 2 } } = \frac{ 2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } ( \sqrt{3} - 1 ) + \frac{4}{3} \ln{ \frac{ ( 3 \sqrt{2} - 2 ) ( \sqrt{ 3 \cdot 2 } + 2 ) }{ ( \sqrt{ 3 \cdot 2 } - 2 ) ( \sqrt{ 3 \cdot 2 } + 2 ) } } = \\\\ = 2 \sqrt{ \frac{2}{3} } ( \sqrt{3} - 1 ) + \frac{4}{3} \ln{ \frac{ ( 6 \sqrt{3} - 2 \sqrt{ 3 \cdot 2 } + 2 \sqrt{ 3 \cdot 2 } - 4 ) }{ ( ( \sqrt{ 3 \cdot 2 } )^2 - 2^2 ) } } = \\\\ = 2 \sqrt{ \frac{2}{3} } ( \sqrt{3} - 1 ) + \frac{4}{3} \ln{ \frac{ ( 6 \sqrt{3} - 4 ) }{ ( 6 - 4 ) } } \ ;$

$\int\limits_2^6{ \frac{ dx }{ \sqrt{3x} - 2 } } = 2 \sqrt{2} ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{3} } ) + \frac{4}{3} \ln{ ( 3 \sqrt{3} - 2 ) } \ .$

2.

$\int{ \frac{ x^2 + e^x }{ x^2 e^x } } \, dx = \int{ ( \frac{ x^2 }{ x^2 e^x } + \frac{ e^x }{ x^2 e^x } ) } \, dx = \int{ ( \frac{1}{e^x} + \frac{1}{x^2} ) } \, dx = \\\\ = \int{ e^{-x} } \, dx + \int{ x^{-2} } \, dx = C - e^{-x} - \frac{1}{x} \ ;$

$\int\limits_1^3 { \frac{ x^2 + e^x }{ x^2 e^x } } \, dx = e^{-x} |^1_3 + \frac{1}{x} |^1_3 = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} + 1 - \frac{1}{3} \ ;$

$\int\limits_1^3 { \frac{ x^2 + e^x }{ x^2 e^x } } \, dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{e} ( 1 - \frac{1}{e^2} ) \ .$