Бояре, потужив о государе и царице (царь) молодой (молодость, молоденький), в спальню к ней пришли толпой (толпы). - запятая стоит по причине деепричастного оборота "потужив о государе и царице молодой"; деепричастие - потужив, суффикс В.
Тут соседи беспокоить (корень начинается на глухую согласную П, значит приставка РАС) стали старого царя, страшный вред ему творя. - ДО "страшный вред ему творя", деепричастие - творя, суффикс Я.
Тут она, взмахнув крылами, полетела (приставка ПО неизменяемая, лётчик) над волнами (волны). - ДО "взмахнув крылами", деепричастие - взмахнув, суффикс В.
Жеманный кот, на печке сидя, мурлыча, лапкой рыльце мыл. - ДО "на печке сидя", деепричастие сидя, суффикс Я; деепричастие "мурлыча", суффикс А.