В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Свойство трапеции, в которую вписана окружность - сумма оснований равна сумме боковых сторон. Средняя линия трапеции равна L = 120 / (2*2) = 30. Тогда высота трапеции равна Н = 540 / 30 = 18. Боковая сторона равна 120/(2*2) = 30. Находим основания трапеции: Проекция боковой стороны на нижнее основание равна: √(30² - 18²) = √(900 - 324) = √ 576 = 24. Тогда основания равны: - верхнее: ((120/2) - 2*24) = (60-48)/2 = 12/2 = 6. - нижнее: 2*24 + 6 = 48 + 6 = 54. Диагонали образуют 2 подобных треугольника. Высота трапеции точкой пересечения диагоналей делится на высоты этих треугольников пропорционально основаниям. Искомое расстояние равно: 18*(6/54) = 18/9 = 2.