1) a) решаем как квадратное: log4(x) = t ( ОДЗ: х>0)
2t² +5t -3 = 0
D = b² -4ac = 25 -4*2*(-3) = 49>0(2к)
t1 = (-5+7)/4 = 1/2
t2= (-5 -7)/4 = -3
a)t=1/2
log4(x) = 1/2
х = 4^1/2 = 2
х = 2
б) t = -3
log4(x) = -3
x = 4^-3= 1/64
х = 1/64
Ответ: 2; 1/64
б) Учтём, что 1/64= 2^-6, log0,5(x) = log2(x)/log2(0,5) = -log2(x)
ОДЗ: x > 0
Теперь наше уравнение имеет вид:
x^(-log2(x) -1) = 2^-6 Прологарифмируем по основанию 2:
(-log2(x) -1)log2(x) = -6log2(2),
log2(x) = t
(-t-1)*t = -6
-t² -t +6 = 0
t² + t - 6 = 0
По т. Виета t1 = -3 и t2 = 2
a) t=-3
log2(x) = -3
x = 2^-3= 1/8
x = 1/8
б) t= 2
log2(x) = 2
x = 2² = 4
x = 4
Ответ: 1/8; 4
2) Первое уравнение примет вид: х-у = -6
второе уравнение примет вид: х у = 9*2 ( ОДЗ х >0, y >0)
Наша система имеет вид:
х - у = -6
х у = 18 Решаем подстановкой: х = у - 6
подставим во второе уравнение:
у (у-6) = 18
у² - 6у -18 = 0
у1 = 3 + √27 = 3 + 3√3
у2 = 3 - √27 = 3 - 3√3 ( не подходит по ОДЗ)
х1 = у - 6 = 3 + 3√3 - 6 = 3√3 - 3
х2 = у - 6 = 3 - 3√3 -6 = -3 - 3√3 ( не подходит по ОДЗ)
Ответ: х = 3 + 3√3
у = 3√3 - 3