В первой урне 4 белых и 4 черных шара, во второй - 2 белых и 3 черных. Из первой урны...

Question

В первой урне 4 белых и 4 черных шара, во второй - 2 белых и 3 черных. Из первой урны наудачу выбирают три шара, а из второй - один шар. После этого из выбранных четырех шаров наудачу берут один шар.
Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

ЗАДАНИЕ ОТ КЛУБА ЗНАТОКОВ
(С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ И ПОЯСНЕНИЯМИ)

Comments

так и хочется написать 6/13 без пояснений ))) но нельзя - пусть это будет подсказка для решающих

---

я обычно так и писал на олимпиадах - поэтому и не выигрывал - не было пояснений

---

а потом приходил домой и получал другой ответ, например такой 19/40=0,475

Answer 1

Способ расчета основан на понятии математического ожидания.

есть первая корзина и в ней 4 белых и 4 черных
вероятность взять белый 0,5
математическое ожидание количества белых шаров, взятых из первой корзины за 3 раза составит 3*0,5=1,5 шара

есть вторая корзина и в ней 2 белых и 3 черных
вероятность взять белый 0,4
математическое ожидание количества белых шаров, взятых из второй корзины за 1 раз составит 1*0,4=0,4 шара

имеем образовавшуюся корзину из 4 шаров с математическим ожиданием количества белых шаров в ней 1,5 + 0,4 = 1,9

вероятность достать белый шар из этой корзины 1,9/4 = 19/40 = 0,475

Comments

Ну,просто СУПЕР !

Answer 2

Из 1 урны можно вынуть:
1) 3 белых шара. Вероятность p1 = 4/8*3/7*2/6 = 1/14
2) 2 белых и 1 черный. Тут возможно 3 варианта: ББЧ, БЧБ, ЧББ.
Вероятность p2 = 3*4/8*3/7*4/6 = 3/7 = 6/14
3) 1 белый и 2 черных. Тут тоже 3 варианта: БЧЧ, ЧБЧ, ЧЧБ
Вероятность p3 = 3*4/8*4/7*3/6 = 3/7 = 6/14
4) 3 черных. Вероятность p4 = 4/8*3/7*2/6 = 1/14
Из 2 урны можно вынуть:
1) белый шар. Вероятность q1 = 2/5
2) черный шар. Вероятность q2 = 3/5
Теперь давайте их комбинировать.
а) Вынули p1 и q1. Вероятность P11 = p1*q1 = 1/14*2/5 = 2/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 равна Q1 = 1
б) Вынули p1 и q2. Вероятность P12 = p1*q2 = 1/14*3/5 = 3/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 Q2 = 3/4
в) Вынули p2 и q1. Вероятность P21 = p2*q1 = 6/14*2/5 = 12/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 равна Q3 = 3/4
г) Вынули p2 и q2. Вероятность P22 = p2*q2 = 6/14*3/5 = 18/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 Q4 = 1/2
д) Вынули p3 и q1. Вероятность P31 = p3*q1 = 6/14*2/5 = 12/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 равна Q5 = 1/2
е) Вынули p3 и q2. Вероятность P32 = p3*q2 = 6/14*3/5 = 18/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 Q6 = 1/4
ж) Вынули p4 и q1. Вероятность P41 = p4*q1 = 1/14*2/5 = 2/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 равна Q7 = 1/4
з) Вынули p4 и q2. Вероятность P42 = p4*q2 = 1/14*3/5 = 3/70
Вероятность вынуть белый шар из 4 Q8 = 0

Общая вероятность равна сумме произведений P(n)*Q(m)
P = P11*Q1 + P12*Q2 + P21*Q3 + P22*Q4 +
+ P31*Q5 + P32*Q6 + P41*Q7 + P42*Q8 =
= 2/70*1 + 3/70*3/4 + 12/70*3/4 + 18/70*1/2 +
+ 12/70*1/2 + 18/70*1/4 + 2/70*1/4 + 3/70*0 =
= 2/70 + 9/280 + 9/70 + 9/70 + 6/70 + 18/280 + 2/280 + 0 =
= 26/70 + 29/280 = 104/280 + 29/280 = 133/280 = 19/40

Comments

порассуждаем
в первой урне белых и черных одинаково
если будем брать шар сразу из первой урны то вероятность что он белый - 0,5
если взять шар из второй урны, то вероятность что он белый - 0,4, если взять наугад какое-то количество шаров из первой и какое-то количество из второй, то вытащим из этой кучи один шар и выяснится что он белый с какой-то средней вероятностью от 0,4 до 0,5, но не 0,2 !!!

---

кстати, верный ответ действительно 0,475 и Вы можете исправить решение

---

Нашел уже, 19/40, а исправить пока не дают.

---

Ответ отправлен на исправление.
Отправить: IUV Модератор [W: 25 | T: 1047] 2016-02-23 09:30:55
Причина: прошу исправить

---

обновите страницу

---

Сделано! А почему вы хотели сходу написать 6/13?

---

потому что я не люблю считать по-честному и ищу легкие пути. один из них - решение с минимумом расчетов предлагаю в качестве своего решения

---

6/13 - это отношение полного числа белых к полному числу шаров - но это неверный ход

---

Спасибо,Михаил ) извините,что лучшее решение отдано Игорю )

---

Согласитесь,заслуженно )