Уравнение p(x) = 0, где p(x) — рациональное выражение,
называется рациональным. Их решение сводится к упрощению
рац. выражения и нахождению корней полученного уравнения.
Если в результате упрощения в левой части получается алг. дробь,
то исходим из того, что дробь равна нулю, если её числитель равен
нулю, а знаменатель неравен нулю.
Пример 1. Решим уравнение
2xx−1 = xx+1.
Решение.
Перенесем выражение xx+1 из правой части уравнения в левую:
2xx−1 – xx+1 = 0 .
Выполним вычитание дробей:
2x 2+2x(x−1)(x+1) – x 2−x(x+1)(x−1) = 0 ;
2x 2+2x−x 2+x(x−1)(x+1) = 0 ;
x 2+3x(x−1)(x+1) = 0 .
Разложим числитель на множители:
x(x+3)(x−1)(x+1) = 0 .
Найдем корни полученного уравнения:
x(x+3) = 0 ⇒ x = 0 и x = –3 .
x−1 ≠ 0 и x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 и x ≠ – 1 .
О т в е т: 0, – 3.