Sin∠ACD *sin ∠BCD =1/3 ; DC =2.
DH ⊥ AB (H∈[AB] )
-----
DH-?
обозначаем ∠ACD =α ; ∠BCD =β
По теореме синусов из ΔDAC:
AD /sinα =DC/sin∠DAC ⇔AD /sinα =DC/sin(180° -∠B)⇔
AD /sinα =DC/sin∠B . (1)
*∠DAC =180°-∠DAM ; точка M расп. на продолжения касательной CA,
∠DAM - угол между касательной и хордой DA,∠DAM=(дугаAD/2) =∠B*
Аналогично из ΔDBC:
BD /sinβ =DC/sin∠DBC ⇔BD /sinβ =DC/sin(180° -∠A)⇔
BD /sinβ =DC/sin∠A. (2)
Умножаем уравнения (1) и (2) получаем
AD*BD/sinα*sinβ =DC²/sin∠A*sin∠B⇔
(AD*sin∠A)*(BD*sin∠B) =DC²*sinα*sinβ ;
DH* DH=4*(1/3) ⇒ DH =2/√3 = (2√3)/3 .
ответ: (2√3)/3 .