D=(1-a)²-4(2+a)(a+5)=1-2a+a²-8a-40-4a²-20a=-3a²-30a-39≥0
a²+10a+13≤0
D=100-52=48
a1=(-10-4√3)/2=-5-2√3≈-8,4
a2=-5+2√3≈-1,6
-5-2√3≤a≤-5+2√3
Проверим a целые из этого промежутка
а=-8
-6х²+9х-3=0
2х²-3х+1=0
D=9-8=1
x1=(3-1)/4=1/2 не удов усл
а=-7
-5x²+8x-2=0
D=64-40=24
x1=(-8-2√3)/(-10)не удов усл
a=-6
-4x²+7x-1=0
D=49-16=33
x1=(-7-√33)/(-8) не удов усл
a=-5
-3x²+6x=0
-3x(x-2)=0
x=0 x=2
a=-4
-2x²+5x+1=0
D=25+8=33
x1=(-5-√33)/(-4)не удов усл
a=-3
-x²+4x+2=0
D=16+8=24
x1=(-4-2√3)/(-2)не удов усл
a=-2
3x+3=0
3x=-3
x=-1
Ответ при а=-5 или а=-2 уравнение имеет по крайней мере один корень и все его корни являются целыми числами.