Найдём экстремум, для этого нужно найти производную и приравнять её к нулю:
8x^3-1=0
x=1/2 - точка возможного экстремума.
производная меняет свой знак с минуса на плюс, проходя через эту точку, значит это точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно -1,375
Значение функции на концах отрезка: -1 и 0 соответственно, значит точка (0.5;-1.375) - это точка минимума, а точка (1,0) - максимума