Решение:
f(x)=x³/(1-x²)
1) Область определения: D(y) (-∞;-1) (-1;1) (1;∞)
2) Множество значений: E(y) (-∞;∞)
3) проверим, является ли функция четной или нечетной:
у (x)=x³/(1-x²)
y(-x)=(-x)³/(1-(-x)²)=- x³/(1-x²)
Так как у (-х) =-у (х) , то функция не четная.
4) Найдем нули функции:
у=0; x³/(1-x²)=0
x³=0
x=0
График пересекает оси координат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания:
y'=(3x²(1-x²)+2x*x³)/(1-x²)²=(3x²-x^4)/(1-x²)²
3x²-x^4=0
x²(3-x²)=0
x²=0
x1=0
3-x²=0
x2=√3
x3=-√3
Так как на промежутках (-∞;-√3) и (√3;∞) y'< 0, то на этих промежутках функция убывает.
Так как на промежутках (-√3;-1) (-1;0) (0;1) и (1;√3) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет.
Так как при переходе через точку х=-√3 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (√3 )=-3√3/(1-3)=1.5√3
Так как при переходе через точку х=√3 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (√3)=3√3/(1-2)=-1.5√3
В точке х=0 функция экстремума не имеет
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида:
y"=((3x-4x²)*(1-x²)²+2x(1-x²)(3x²-x^4))/(1-x²)^4=(6x^5-4x³+6x)/(1-x²)³; y"=0
(6x^5-4x³+6x)/(1-x²)³=0
6x^5-4x³+6x
x(6x^4-4x²+6)=0
x1=0
6x^4-4x²+6=0
уравнение не имеет корней
Так как на промежутках (-1;0) и (1;∞) y"< 0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (-∞;-1) (0;1) y"> 0, то на этих промежутках график функции направлен выпкулостью вниз.
Точка х=0; являются точкой перегиба.
7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты:
Так как финкция имеет точки разрыва, то найдем односторонние пределы в этих точках:
lim (при х->-1-0) (x³/(1-x²)=+ ∞
lim (при х->-1+0) (x³/(1-x²)=- ∞
lim (при х->1-0) (x³/(1-x²)=+ ∞
lim (при х->-1+0) (x³/(1-x²)=-∞
Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые х=-1 и х=1 являются вертикальными асимптотами
Наклонные асимптоты вида y=kx+b
k=lim (при х->∞) f(x)/x=lim (при х->∞) (x³/(x-x³)=-1
b= lim (при х->∞) (f(x)-kx)=lim (при х->∞) (x³/(1-x²)+x)=0
Итак прямая у=-х является наклонной асимптотой
8) Все, строй график