обозначаем : AD=a , BC =b.
S(ABCD)=(AD+BC)/2*H =(AD+BC)²/8 =(a+b)²/8 .
* * * ∠BAD=30°⇒H =AB/2=(AD +BC)/4 , т.к. AB+СD=AD +BC (свойство вписанного четырехугольника) 2AB=(AD +BC)⇒ AB=(AD +BC)/2 . * * *
---
S(NPKM) =S(ABCD) -(S(ANM) + S(DKM)+S(NBP)+ S(KCP) )=
S(ABCD) -(2S(ANM) +2S(NBP) ) =(a+b)²/8 -(a²/8 + b²/8) = ab/4.
* * * 2S(ANM) =2*(1/2)(a/2)*(a/2)*sin30°=a²/8
и
* * * 2S(NBP) =2*(1/2)(b/2)*(b/2)*sin150° =b²/8. * * *
S(NPKM) / S(ABCD) =ab/4 : (a+b)²/8 =2ab/(a+b)².
H² = ((a+b)/2)² -((a-b)/2)²=ab ⇔ ((a+b)/4)² =ab ⇒ (a+b)² =16ab.
следовательно:
S(NPKM) / S(ABCD) = 1/8 . (1/8)*100 =12,5 % .
ответ: 12,5 % .
* * * S(ABCD) =ar/2+br/ 2+cr/2 +cr/2=((a+b)/2+c)r =(a+b)r.
где r =(1/2)√ab , с другой стороны ∠BAD =30°, AB =2H =4r =2√ab
(a+b)/2 = 2√ab.