За первый день турист прошёл половину всего маршрута, за второй - 2/3 его...

Весь маршрут - 1.
Половина пути - 1/2.

$\frac{1}{2} * \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \\$ - всего маршрута была пройдена за второй день.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}= \frac{5}{6} \\$ - всего маршрута было пройдено за первый и второй дни.
1 - 5/6 = 6/6 - 5/6 = 1/6 - всего маршрута осталось пройти за третий день.
Ответ: 1/6.