Вася выбрал несколько различных натуральных чисел. Среднее геометрическое двух самых...

Question

Вася выбрал несколько различных натуральных чисел. Среднее геометрическое двух самых маленьких равно 4, а среднее геометрическое двух самых больших равно 15. чему ранв сумма всех Васиных чисел

Answer 1

Средне-геометрическим двух неотрицательны чисел      и  
называют величину  

Если это выражение возвести в квадрат и слева и справа,
то мы получим, что:  

или просто:  

Тогда условие задачи, можно переформулировать так: «произведение двух самых маленьких чисел равно      а произведение двух самых больших равно      »


Произведение 16 можно составить из разных натруральных чисел
только двумя способами:

I.    

II.    


Поскольку это должны быть минимальные числа,
то остальные числа могут быть только больше.


I*   В первом случае остальные числа могут быть только больше        т.е.:   

Но произведение даже 225 \ ; " alt=" 17 \cdot 18 = 306 > 225 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

И произведение любых двух чисел, больших, чем        каждое – будет, очевидно, больше чем        т.е. больше         а значит, при выборе минимальных чисел в виде         и         – подобрать остальные числа невозможно.


II*   Во втором случае остальные числа могут быть только больше        т.е.:   

Рассмотрим разложение на множители числа    



На подойдут только числа, большие восьми и не равные друг другу,
т.е.        и   




Таким образом Вася выбрал числа     и   

В диапазон между         и         Вася никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда минимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы   

Между         и         никаких натуральных чисел нет.

В диапазон между         и         Вася тоже никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда максимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы   


Сумма всех Васиных чисел:    



О т в е т :