Докажите тождество:

$\log_{bk}ak= \dfrac{\log_ba+\log_bk}{1+\log_bk}$

Преобразуем правую часть к левой. Представим единицу в виде логарифма:
$\dfrac{\log_ba+\log_bk}{1+\log_bk} =\dfrac{\log_ba+\log_bk}{\log_bb+\log_bk}$

Запишем сумму логарифмов в виде логарифма произведения:
$\dfrac{\log_ba+\log_bk}{\log_bb+\log_bk} =\dfrac{\log_bak}{\log_bbk}$

По формуле перехода к новому основанию получим:
$\dfrac{\log_bak}{\log_bbk} =\log_{bk}ak$