Sinx+cosx=Под корнем 2cos(П/4-x

Question 1

Question 2

$\sin{x} + \cos{x} = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ;$

Воспользуемся формулой $\cos{a} + \cos{b} = 2 \cos{ \frac{a+b}{2} } \cos{ \frac{a-b}{2} } \ ;$

$\sin{x} + \cos{x} = \cos{ ( \frac{ \pi }{2} - x ) } + \cos{x} = 2 \cos{ \frac{ [ \pi/2 - x ] + x }{2} } \cos{ \frac{ [ \pi/2 - x ] - x }{2} } = 2 \cos{ \frac{ \pi }{4} } \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \ ;$

Тогда исходное уравнение можно переписать так:

$2 \cos{ \frac{ \pi }{4} } \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ;$

$2 \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ;$

$\sqrt{2} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } \ ;$

ОДЗ: $\cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \geq 0 \ ;$

$( \sqrt{2} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } )^2 = ( \sqrt{ 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } } )^2 \ ;$

$2 \cos^2{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \ ;$

$\cos^2{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } \ ;$

$\cos^2{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } - \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 0 \ ;$

$\cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } ( \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } - 1 ) = 0 \ ;$

$\left[\begin{array}{l} \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 0 \ , \\ \\ \cos{ ( \frac{ \pi }{4} - x ) } = 1 \ ; \end{array}\right$

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

$\left[\begin{array}{l} x - \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{2} + \pi k , k \in Z \ ; \\ \\ x - \frac{ \pi }{4} = 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right$

$\left[\begin{array}{l} x = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} + \pi k , k \in Z \ ; \\ \\ x = \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right$

О т в е т :

$\left[\begin{array}{l} x = \frac{3}{4} \pi + \pi k , k \in Z \ ; \\ \\ x = \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ . \end{array}\right$

.