Неравенство sin2x = 2sinxcosx здесь надо sinx выразить через cosx? Тогда будет так:Или...

Question 1

Неравенство
$-sinx-sin2x-sin3x\ \textless \ 0\\-sin2x-2sin2xcosx\ \textless \ 0\\sin2x(1+2cosx)\ \textgreater \ 0\\$
sin2x = 2sinxcosx здесь надо sinx выразить через cosx? Тогда будет так:
$2cosx(\sqrt{1-cos^2x})(1+2cosx)\ \textgreater \ 0\\\\cosx=t\\t(\sqrt{1-t^2})(1+2t)\ \textgreater \ 0\\\\t_1=0; ;\\\\\sqrt{1-t^2} \geq 0\\t \in [-1;1];\\\\1+2t=0\\t=-\frac{1}{2};\\\\(-1)+++(-\frac{1}{2})---(0)+++(1)\\\\t\in (-1;-\frac{1}{2}) \cup (0;1)$

$\left[-1\ \textless \ cosx\ \textless \ -\frac{1}{2} \atop 0\ \textless \ cosx\ \textless \ 1\\ \right \\\\ x \in (\frac{2\pi}{3}+2\pi n; \pi +2\pi n) \cup (\pi +2\pi n) \cup (-\frac{\pi}{2}+2\pi n; 2\pi n) \cup \\ \cup (2\pi n; \frac{\pi}{2}+2\pi n)$

Или можно по другому решить? Я не знаю как по другому можно sinx выразить через cosx в sin2x

Question 2

$-sinx-sin2x-sin3x\ \textless \ 0\\\\sin2x+(sinx+sin3x)\ \textgreater \ 0\\\\sin2x+2sin2x\cdot cosx\ \textgreater \ 0\\\\sin2x(1+2cosx)\ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow \\\\ \left \{ {{sin2x\ \textgreater \ 0} \atop {1+2cosx\ \textgreater \ 0}} \right. \; \; ili\; \; \left \{ {{sin2x\ \textless \ 0} \atop {1+2cosx\ \textless \ 0}} \right. \\\\1)\; \; sin2x\ \textgreater \ 0\; \; \to \; \; 2\pi n\ \textless \ 2x\ \textless \ \pi +2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\pi n\ \textless \ x\ \textless \ \frac{\pi }{2}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\$

Это будут углы 1 и 3 четверти.

$1+2cosx\ \textgreater \ 0\; \; \to \; \; cosx\ \textgreater \ -\frac{1}{2}\; \; \to \; \;-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \textless \ x\ \textless \ \frac{2\pi}{3}+2\pi k\; ,k\in Z$

Углы в 3, 4, 1, 2 четвертях. Пересечение с предыдущей группой углов в 1 и 3 четвертях.

$x\in (2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup (-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;-\frac{\pi}{2}+2\pi n)\; ,\; n\in Z\\\\2)\; \; sin2x\ \textless \ 0\; \; \to \; \; -\pi +2\pi n\ \textless \ 2x\ \textless \ 2\pi n\; ,\; -\frac{\pi}{2}+\pi n\ \textless \ x\ \textless \ \pi n,\; n\in Z$

Углы в 4 и 2 четвертях.

$1+2cosx\ \textless \ 0\; \; \to \; \; cosx\ \textless \ -\frac{1}{2}\; \; \to \\\\\frac{2\pi}{3}+2\pi k\ \textless \ x\ \textless \ \frac{4\pi}{3}+2\pi k\; ,\; k\in Z$

Углы во 2 и 3 четвертях. Пересечение с предыдущей группой углов будет только во 2 четверти.

$x\in (\frac{2\pi}{3}+2\pi n\; n\in Z;\pi +2\pi n)\\\\Otvet:\; \; x\in (-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;-\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup (2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup \\\\\cup (\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\pi +2\pi n)$

Question 3

премного благодарен! особенно за подробный ответ!

Question 4

Ты не учёл, что заменяя sinx на корень, перед корнем ещё (+) и (-) надо ставить. И будет 2 варианта .

Question 5

Я не могу так сразу представить что бы из этого вышло, так что сейчас же на листе рассмотрю свой вариант решения учитывая плюс-минус. Поэтому сейчас спрошу: тогда замена на t и выписывание промежутков приведёт меня к верному решению?

Question 6

Да

Question 7

Но там надо не запутаться, где ставить объединение, а где пересечение множеств

Question 8

да и сейчас разбирая ваше решение "ходил" по окружности, не совсем просто, практика поможет

Question 9

Я думаю, что в моём решении легче "ходить по окружности"

Question 10

мне сравнивать не с чем) конечно должно быть легче по вашему методу решения, ваши знания и опыт - неоспоримые аргументы

Question 11

Можно ещё решить, одним способом, позже постараюсь выложить в группе.

Question 12

Позже напишу!